「すべての卵を一つのカゴに入れるな—しかし、それぞれのカゴに正確にいくつ入れるかを計算せよ。」

コアアイデア

問題: N個の資産が与えられた時、リターンを最大化しリスクを最小化するために、どのように資本を配分するか？

Markowitzの洞察: リターンは加重平均できるが、リスクは単純に加算的ではない—相関が分散投資の効果を決定する。

基本数学

ポートフォリオリターン

期待ポートフォリオリターン = Sum(wi x mui)

ここで:
  wi = 資産iのウェイト
  mui = 資産iの期待リターン

例: 2つの資産

AAPL: ウェイト60%、期待リターン12%
MSFT: ウェイト40%、期待リターン10%

期待ポートフォリオリターン = 0.6 x 12% + 0.4 x 10% = 11.2%

ポートフォリオリスク

ポートフォリオ分散 = Sum_i Sum_j (wi x wj x sigma_ij)

ここで:
  sigma_ij = 資産iとjの共分散
  sigma_ii = 資産iの分散

2資産の簡略形:

sigma_p^2 = w1^2*sigma1^2 + w2^2*sigma2^2 + 2*w1*w2*rho*sigma1*sigma2

ここで:
  rho = 2資産間の相関係数

相関の力

例: 2つの資産、各50%ウェイト

• 資産A: ボラティリティ20%
• 資産B: ボラティリティ20%

重要な洞察: 相関が低いほど、分散投資効果が高い。

効率的フロンティア

定義: 与えられたリスクレベルで最高の期待リターンを達成するポートフォリオの集合。

リターン
  |                    *------- 最高リターンポイント
  |                 ***
  |              ***
  |           ***    <- 効率的フロンティア
  |        ***
  |     ***
  |  ***------------- 最小分散ポイント
  |
  +--------------------> リスク

効率的フロンティアより下のポイントは「非効率」:
同じリスクでより高いリターンを達成可能

効率的フロンティアの計算

最適化問題:

最大化: ポートフォリオリターン = w'mu
制約条件:
  1. ポートフォリオリスク = sqrt(w'Sigma*w) <= sigma_target
  2. Sum(wi) = 1 (ウェイトの合計が1)
  3. wi >= 0 (オプション: 空売りなし)

実践的計算例

3資産ポートフォリオ: AAPL、MSFT、GOOGL

入力データ:

期待リターン（年率換算）:
  AAPL: 15%
  MSFT: 12%
  GOOGL: 18%

ボラティリティ（年率換算）:
  AAPL: 25%
  MSFT: 20%
  GOOGL: 30%

相関マトリクス:
       AAPL  MSFT  GOOGL
AAPL   1.0   0.7   0.6
MSFT   0.7   1.0   0.5
GOOGL  0.6   0.5   1.0

最小分散ポートフォリオ:

ウェイト: AAPL 25%、MSFT 55%、GOOGL 20%
リターン: 13.5%
ボラティリティ: 17.2%

最大シャープポートフォリオ（リスクフリーレート2%と仮定）:

ウェイト: AAPL 30%、MSFT 30%、GOOGL 40%
リターン: 15.6%
ボラティリティ: 20.1%
シャープ: 0.68

一般的な最適化目的

実世界の実装問題

問題1: 推定誤差

理論的要件: 正確な期待リターンと共分散行列

現実: 過去データから推定され、大きな誤差を持つ

推定誤差の影響:

リターン推定誤差 → 大きなウェイト変動
  - 過去5年のAAPLリターン18%
  - しかし将来は10%または25%の可能性
  - 小さなリターン予測の変化 → 劇的なウェイト変化

共分散推定誤差 → 不安定な相関
  - 通常期間: AAPL-MSFT相関0.6
  - 危機期間: 相関が0.9に急上昇
  - 分散投資効果が消失

問題2: 極端なウェイト

制約のない最適化はしばしば極端な結果を生む:

理論的最適:
  資産A: +250%（ロング）
  資産B: -150%（ショート）

問題点:
  - 高いレバレッジリスク
  - 空売りコスト
  - 流動性制約

解決策: 制約を追加

一般的な制約:
  - 0 <= wi <= 30%（単一資産上限）
  - Sum(wi) = 1（完全投資）
  - wi >= 0（空売りなし）

問題3: 高い回転率

最適化結果は入力に敏感で、再最適化のたびに大きなリバランスが発生する可能性:

今月最適: AAPL 40%、MSFT 30%、GOOGL 30%
来月最適: AAPL 20%、MSFT 50%、GOOGL 30%

回転率: |40-20| + |30-50| + |30-30| = 40%
コスト: 40% x 0.2% x 2 = 0.16%

年率換算コストは超過リターンのほとんどを消費する可能性

解決策:

1. 回転率ペナルティ: 目的関数 - lambda x 回転率
2. 偏差が閾値を超えた場合のみリバランス
3. より安定した推定方法を使用

改善方法

1. 縮小推定

サンプル推定をより安定した事前分布に「縮小」:

縮小共分散 = alpha x サンプル共分散 + (1-alpha) x 構造化推定

一般的な構造化推定:
  - 対角行列（無相関を仮定）
  - 単一ファクターモデル
  - 等相関モデル

2. Black-Littermanモデル

市場均衡と主観的見解を組み合わせる:

入力:
  1. 市場均衡リターン（時価総額ウェイトから暗示）
  2. 投資家の見解（例: 「AAPLはMSFTを3%アウトパフォームすると信じる」）
  3. 見解の信頼度レベル

出力:
  調整済み期待リターン → より安定したウェイト

3. Risk Parity

リターンを予測せず、リスク寄与をバランス:

目標: 各資産がポートフォリオリスクに等しく寄与

3資産例:
  総リスク = 15%
  各資産寄与 = 5%

結果: 低ボラティリティ資産は高ウェイト、高ボラティリティ資産は低ウェイト

Multi-Agent視点

Multi-agentアーキテクチャでは、ポートフォリオ最適化を以下のように適用可能:

Signal Agent（複数）
  |
  +-- Agent A: AAPL期待リターンを出力
  +-- Agent B: MSFT期待リターンを出力
  +-- Agent C: GOOGL期待リターンを出力
       |
       v
Portfolio Agent（最適化）
  |
  +-- 入力: 各Agentからのリターン予測
  +-- 共分散行列を推定
  +-- 平均分散最適化を実行
  +-- 出力: 目標ウェイト
       |
       v
Risk Agent
  |
  +-- ウェイトがリスク制限に違反していないか確認
  +-- 回転率が高すぎないか確認
  +-- 提案されたウェイトを調整または拒否

一般的な誤解

誤解1: 過去最適なポートフォリオは将来も最適

間違い。最適化は完璧なオーバーフィッティングツール:

• 過去データのノイズに過度に依存
• 過去の相関は変化する可能性
• 期待リターン推定は信頼性が低い

誤解2: 資産が多いほど分散投資が良い

上限がある。限界便益は減少:

資産数 vs 分散投資効果:
  2 -> 10: 大幅なリスク削減
  10 -> 30: 中程度の効果
  30 -> 100: 限定的な効果、複雑さ増加

誤解3: 共分散行列は安定している

危険な仮定。共分散はレジーム間で劇的に変化:

• 通常期間: 分散投資が機能
• 危機期間: 相関が1に近づき、分散投資が失敗

実践的推奨

1. シンプルから始める

開始の選択肢:
- 等ウェイト（1/N）: 堅牢、推定不要
- Risk parity: リターン予測不要
- 最小分散: 共分散推定のみ必要

2. 合理的な制約を追加

推奨制約:
- 単一資産ウェイト <= 30%
- 空売りなし（明確な空売り戦略がない限り）
- 回転率ペナルティ

3. 定期的にリバランス

リバランス戦略:
- 固定期間: 月次/四半期
- 閾値トリガー: 目標ウェイトからの偏差が5%超
- 組み合わせ: 閾値トリガー + 最小間隔

まとめ