第 03 课：数学与统计基础

量化的本质是用数学语言描述市场。如果你的数学假设错了，模型越精确，亏得越快。

LTCM：诺贝尔奖得主的致命假设

1998 年，长期资本管理公司（LTCM）拥有两位诺贝尔经济学奖得主、华尔街最顶尖的数学家、以及 1250 亿美元的资产。

他们的模型精妙绝伦，基于一个核心假设：市场收益服从正态分布。

按正态分布计算，他们的策略一天亏损超过 1% 的概率是 10 万分之一。一年 252 个交易日，理论上要 400 年才会遇到一次。

然后俄罗斯债务违约了。

1998 年 8 月 21 日一天，LTCM 亏损 5.5 亿美元。接下来的一个月，他们亏损了 46 亿美元——几乎全部资本。按正态分布，这种事件发生的概率是 10 的负 27 次方，大约是宇宙诞生以来每秒发生一次都不可能遇到。

但它发生了。

问题出在哪里？

1. 市场不是正态分布：真实市场是"厚尾分布"，极端事件的频率远超正态分布预测
2. 相关性会突变：正常时期资产相关性低，危机时所有资产相关性飙升到 1
3. 波动率会聚集：大跌之后往往还是大跌，不是独立的"抛硬币"

LTCM 的教训：不是模型不够精确，是数学假设从根本上错了。

这一课的目标：让你理解金融数据的真实特性，避免用"抛硬币"的数学去分析市场。

3.1 时间序列基础

序列 vs IID 假设

传统统计学假设数据是 IID (Independent and Identically Distributed)：独立同分布。

• 独立：今天的数据和昨天无关
• 同分布：每天的数据来自同一个分布

金融数据几乎从不满足 IID 假设：

import numpy as np

# IID 数据：抛硬币
coin_flips = np.random.choice([0, 1], size=100)  # 每次独立，概率恒定

# 金融数据：今天的价格依赖昨天
prices = [100]
for _ in range(99):
    # 今天的价格 = 昨天的价格 + 随机变动
    prices.append(prices[-1] * (1 + np.random.normal(0, 0.02)))

为什么这很重要？

• 如果你用 IID 假设建模，会低估连续亏损的概率
• 真实市场有"惯性"：涨了容易继续涨，跌了容易继续跌

滞后 (Lag) 与自相关

自相关 (Autocorrelation)：当前值与过去值的相关性。

纸上计算示例：

假设连续 5 天的收益率是：+2%, -1%, +3%, +2%, -2%

观察规律：

• 昨天涨，今天有时涨有时跌 → 自相关接近 0（随机）
• 如果昨天涨今天大概率涨 → 自相关为正（动量）
• 如果昨天涨今天大概率跌 → 自相关为负（均值回归）

SPY（标普 500 ETF）的日收益自相关通常接近 0（例如 2010-2020 年约为 0.02）——几乎为 0，说明美股日收益接近随机游走，短期难以预测。具体数值因样本期间而异。

解读：

• 自相关接近 0 → 过去对未来预测价值低（弱式有效市场）
• 自相关显著为正 → 动量效应（趋势跟随可能有效）
• 自相关显著为负 → 均值回归效应

import pandas as pd

def calculate_autocorrelation(series, lag=1):
    """计算滞后 lag 期的自相关系数"""
    return series.autocorr(lag=lag)

# 示例：SPY (S&P 500 ETF) 日收益率的自相关
returns = prices_series.pct_change().dropna()

print(f"滞后1期自相关: {calculate_autocorrelation(returns, 1):.3f}")
print(f"滞后5期自相关: {calculate_autocorrelation(returns, 5):.3f}")

平稳性检验

平稳性：统计特性（均值、方差）不随时间变化。

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

def check_stationarity(series, name="Series"):
    """ADF 检验：判断序列是否平稳"""
    result = adfuller(series.dropna())
    print(f"{name}:")
    print(f"  ADF 统计量: {result[0]:.4f}")
    print(f"  p-value: {result[1]:.4f}")
    print(f"  结论: {'平稳 ✓' if result[1] < 0.05 else '非平稳 ✗'}")

# 价格序列通常非平稳
check_stationarity(prices_series, "价格序列")

# 收益率序列通常平稳
check_stationarity(returns_series, "收益率序列")

为什么要检验平稳性？

• 大多数统计模型假设输入是平稳的
• 对非平稳序列建模会产生"伪回归"
• 解决方案：用收益率（差分）代替价格

3.2 收益的数学定义

简单收益 vs 对数收益

📝 纸上计算：

假设 AAPL 从 $100 涨到 $110：

简单收益 = (110 - 100) / 100 = 10%
对数收益 = ln(110/100) = ln(1.1) ≈ 9.53%

为什么量化常用对数收益？ 看下面的例子：

可加性问题（用计算器验证）：

关键洞察：涨 10% 再跌回来，简单收益不等于 0（因为基数变了），但对数收益等于 0。

结论：对数收益可以直接相加，简单收益必须连乘。当你需要计算 100 天的累计收益时，对数收益只需 100 次加法，简单收益需要 100 次乘法。

累计收益计算

📝 纸上计算：

连续 5 天的日收益率：+1%, -2%, +3%, +1%, -1%

简单收益累计（连乘）：

(1+0.01) × (1-0.02) × (1+0.03) × (1+0.01) × (1-0.01) - 1
= 1.01 × 0.98 × 1.03 × 1.01 × 0.99 - 1
= 1.0194 - 1 ≈ 1.94%

对数收益累计（直接相加）：

0.01 + (-0.02) + 0.03 + 0.01 + (-0.01) = 2%

两种方法结果接近，但对数收益计算更简单。

年化收益率

📝 纸上计算：

假设 60 个交易日赚了 5%，年化是多少？

年化收益 = (1 + 5%)^(252/60) - 1
        = 1.05^4.2 - 1
        = 1.227 - 1
        ≈ 22.7%

为什么是 252？ 美股一年约 252 个交易日（365 天 - 周末 - 节假日）。

常见错误：

• ❌ 直接把月收益 × 12 当年化（忽略复利）
• ❌ 用日历天数而非交易日（应该用 252 不是 365）
• ❌ 忽略手续费后再年化

def cumulative_return(returns, method='simple'):
    """计算累计收益"""
    if method == 'simple':
        return (1 + returns).prod() - 1  # 连乘
    else:
        return returns.sum()  # 直接相加

def annualize_return(total_return, days, trading_days_per_year=252):
    """年化收益率"""
    years = days / trading_days_per_year
    return (1 + total_return) ** (1 / years) - 1

# 示例：60 天赚了 5%
ann_return = annualize_return(0.05, 60)
print(f"年化收益率: {ann_return:.2%}")  # ≈ 23.5%

3.3 风险的数学定义

方差与标准差

📝 纸上计算：

假设 5 天的日收益率：+1%, -2%, +3%, 0%, -1%

Step 1：计算均值

均值 = (1 - 2 + 3 + 0 - 1) / 5 = 0.2%

Step 2：计算方差（每个值与均值的差的平方的平均）

方差 = [(1-0.2)² + (-2-0.2)² + (3-0.2)² + (0-0.2)² + (-1-0.2)²] / 5
     = [0.64 + 4.84 + 7.84 + 0.04 + 1.44] / 5
     = 14.8 / 5 = 2.96 (%²)

Step 3：计算标准差（波动率）

日波动率 = √2.96 ≈ 1.72%

Step 4：年化

年化波动率 = 日波动率 × √252 ≈ 1.72% × 15.87 ≈ 27.3%

波动率的直觉含义：

记住这个公式：年化波动率 = 日波动率 × √252 ≈ 日波动率 × 16

def calculate_volatility(returns, annualize=True, trading_days=252):
    """计算波动率（标准差）"""
    daily_vol = returns.std()
    if annualize:
        return daily_vol * np.sqrt(trading_days)
    return daily_vol

# 示例
daily_returns = pd.Series([0.01, -0.02, 0.03, 0, -0.01])
annual_vol = calculate_volatility(daily_returns)
print(f"年化波动率: {annual_vol:.2%}")

协方差与相关性

直觉理解：

相关系数衡量两个资产"是否同涨同跌"：

实际市场中的相关性（参考值）：

危机时期的"相关性飙升"：正常时期不相关的资产，危机时可能突然相关性飙到 0.9。这就是 LTCM 栽跟头的原因——他们假设相关性稳定。

多智能体视角：Portfolio Agent 的核心工作就是寻找低相关资产构建组合，但 Risk Agent 必须考虑"危机时相关性飙升"的风险。

def analyze_correlation(returns_a, returns_b):
    """分析两个资产的相关性"""
    corr = returns_a.corr(returns_b)
    print(f"相关系数: {corr:.3f}")

    if corr > 0.7:
        print("→ 高度正相关：涨跌同步，分散效果差")
    elif corr < -0.3:
        print("→ 负相关：天然对冲，适合组合")
    else:
        print("→ 低相关：有分散风险的价值")

分布假设的危险性

正态分布假设会害死你。 这是 LTCM 事件的核心教训。

📝 纸上计算：

假设 SPY 年化波动率 20%，日波动率约 1.26%（= 20% / √252）。

在正态分布下：

• 日跌幅超过 1σ (1.26%) 的概率 = 16%（正常）
• 日跌幅超过 2σ (2.52%) 的概率 = 2.3%（每月 0.5 次）
• 日跌幅超过 3σ (3.78%) 的概率 = 0.13%（每 3 年 1 次）
• 日跌幅超过 4σ (5.04%) 的概率 = 0.003%（每 125 年 1 次）

但实际发生了什么？

结论：正态分布说"10^20 年一遇"的事件，实际上每隔几年就发生一次。

这就是"厚尾分布"的威力——极端事件发生的频率远超正态分布预测。如果你的风控模型假设正态分布，你必定会在某个"黑天鹅"事件中爆仓。

3.4 金融时间序列的特殊性

厚尾分布 (Fat Tails)

两个关键指标：

1. 偏度 (Skewness)：分布是否对称

   • 偏度 = 0 → 对称（涨跌幅度差不多）
   • 偏度 < 0 → 左偏（暴跌比暴涨多）
   • 股票市场偏度通常是 -0.5 到 -1，说明暴跌风险大于暴涨机会

2. 峰度 (Kurtosis)：尾部有多"厚"

   • 峰度 = 3 → 正态分布
   • 峰度 > 3 → 厚尾（极端事件比正态分布预测的多）
   • 股票市场峰度通常是 5-10，远超正态分布的 3

厚尾对策略的影响：

• 止损必须考虑跳空风险（隔夜暴跌可能跳过你的止损价）
• VaR 模型会严重低估风险
• 需要用 Expected Shortfall (CVaR) 替代 VaR

def analyze_tail_risk(returns):
    """分析尾部风险"""
    skew = returns.skew()  # 偏度
    kurt = returns.kurtosis()  # 峰度（减3后的）

    print(f"偏度: {skew:.3f} {'(负偏，小心暴跌)' if skew < -0.5 else ''}")
    print(f"峰度: {kurt+3:.3f} {'(厚尾！)' if kurt > 0 else ''}")

波动聚集 (Volatility Clustering)

GARCH 效应：大波动之后往往还是大波动，小波动之后往往还是小波动。

直觉理解：

回想 2020 年 3 月的 COVID 暴跌：

• 3月9日：SPY 跌 7.6%
• 3月12日：SPY 跌 9.5%
• 3月16日：SPY 跌 12.0%

暴跌不是独立的"抛硬币"——一旦开始暴跌，往往会连续暴跌。这就是波动聚集。

波动率的自相关高达 0.7-0.9，远高于收益率的自相关（约 0）。这意味着：

• 收益率几乎不可预测（随机游走）
• 波动率是可预测的（明天的波动率很可能和今天相近）

实战意义：

• 波动率可预测性 > 收益率可预测性
• 趋势 Agent 应该在低波动期建仓，高波动期减仓
• Risk Agent 应该根据近期波动率动态调整止损

def detect_volatility_clustering(returns, window=20):
    """检测波动聚集"""
    rolling_vol = returns.rolling(window).std()
    vol_autocorr = rolling_vol.autocorr(lag=1)
    print(f"波动率的滞后1期自相关: {vol_autocorr:.3f}")

非平稳性与结构性断裂 (Regime Shift)

市场会在不同"状态"之间切换，每个状态有不同的统计特性：

结构性断裂的典型案例（近似值）：

注：下表为常见量级示意，具体数值会随口径、窗口与数据源变化。

Regime Shift 对策略的影响：

• 在旧 Regime 下训练的模型，在新 Regime 下会失效
• 相关性突变意味着分散投资突然失效
• 波动率突变意味着止损位置需要重新计算

这就是为什么需要多智能体——不同 Regime 需要不同策略，一个模型搞不定。Meta Agent 的核心任务就是识别当前 Regime，并将任务分发给对应的专家 Agent。

def detect_regime_change(returns, window=60):
    """简单的 Regime 变化检测"""
    rolling_vol = returns.rolling(window).std()
    vol_change = rolling_vol.diff().abs()
    threshold = vol_change.quantile(0.95)
    regime_changes = vol_change > threshold
    print(f"检测到 {regime_changes.sum()} 个潜在的 Regime 变化点")
    return regime_changes

3.5 常见误区

误区一：正态分布足够描述市场

不对。真实市场是厚尾分布，极端事件发生频率远超正态分布预测。LTCM 假设正态分布，结果"百万年一遇"的事件在几周内发生。

误区二：波动率越低越安全

不完全对。低波动可能是暴风雨前的平静。更危险的是，低波动期往往伴随杠杆增加，一旦波动率突然飙升，损失会被放大。

误区三：相关性稳定可预测

危险的假设。正常时期相关性 0.3 的资产，危机时可能飙升到 0.9。分散投资在你最需要它的时候可能失效。

误区四：历史数据能预测未来

只能部分预测。市场存在 Regime Shift（结构性断裂），过去的统计规律可能突然失效。2008 年、2020 年的市场与之前完全不同。

3.6 多智能体视角

不同 Agent 可以使用不同的统计假设：

关键洞察：

• 不要让所有 Agent 用同一套统计假设
• Risk Agent 必须用最保守的假设（厚尾、极端事件频繁）
• Meta Agent 的职责是识别当前 Regime，分发给合适的 Agent

本课交付物

完成本课后，你将获得：

1. 对金融数据特性的正确认知 - 知道为什么"抛硬币"模型在市场中不适用
2. 收益率计算能力 - 掌握对数收益、年化收益的正确计算方法
3. 风险度量的直觉 - 理解波动率、相关性、厚尾分布的实际含义
4. 对统计假设的警惕 - 知道正态分布假设如何导致致命错误

✅ 验收标准

📝 综合练习（用计算器完成）：

某日内策略：

• 10 天收益率：+1%, -0.5%, +2%, -1%, +0.5%, -2%, +1.5%, 0%, -0.5%, +1%
• 计算：(1) 累计收益 (2) 日波动率 (3) 年化波动率 (4) 这是高波动还是低波动策略？

本课要点回顾

• 理解金融数据不满足 IID 假设，存在自相关和非平稳性
• 掌握对数收益 vs 简单收益的区别，以及年化计算方法
• 认识正态分布假设的危险性：厚尾、波动聚集、极端事件
• 理解 Regime Shift 对策略的影响，以及多智能体如何应对

延伸阅读

• 背景知识：Alpha 与 Beta - 收益分解的数学基础
• 背景知识：历史著名量化事故 - 忽略厚尾的代价
• 背景知识：夏普比率的统计陷阱 - 估计误差、多重检验与 Deflated Sharpe

下一课预告

第 04 课：技术指标的真实角色

MACD、RSI、布林带……这些指标到底有没有用？答案是：它们不是"买卖信号"，而是特征工程。下一课我们揭开技术指标的真面目。